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在自然科學、社會科學及日常社會生活中，人們廣泛地使用各種模型來表示現實事物。模型反映了實物某一方面的屬性和特征，是對現實事物的一種表示形式。例如，地球儀是地球的一種模型，軍事演習是實戰的一種模型，實驗室的某些裝置是工廠大型設備的模型等。以上這些模型是以實物來表示實物，可以稱為具體模型或物理模型。如果對現實事物進行簡化、抽象,用方程、公式、圖表、曲線等是現實事物的數學模型.數學模型舍棄了現實事物的具體特點而抽象出了它們的共同變化規律.因此,這類模型稱為抽象模型. 為了對控制系統進行定性和定量的分析研究,深刻地揭示控制科學的內在規律,建立控制系統的數學模型成為一項必不可少的工作.
控制系統的數學模型主要是指描述控制系統及其各組成部分特性的微分方程、狀態空間表達式、差分方程、傳遞函數、頻率特性以及基于神經網絡、模糊理論而建立的模型等.
建立控制系統的數學模型有兩種基本方法:一種是根據控制系統內部的運動規律,分析各種變量間的因果關系而建立起來的系統的數學模型.這種方法稱為機理建模或理論分析法；另一種方法則是根據實際測試的數據或計算數據,按一定的數學方法,歸納出系統的數學模型,這種方法稱為系統辨識法或試驗分析法.在對控制系統的運動機理、內部規律比較了解的情況下,適合應用機理建模法.用這種方法建立的數學模型,能科學地揭示系統內部及外部的客觀規律,因而代表性強,適應面廣.在系統運動機理復雜很難掌握其內在規律的情況下,往往需要按系統辨識的方法得到系統的數學模型.這種模型是根據具體對象而得出的,因而適應面較窄,通用性差.
建立控制系統的數學模型,是分析研究控制系統的基礎.描述各種客觀事物內在規律最基本的數學工具就是微分方程.下面,我們通過一些實例,來討論建立控制系統微分方程的一般過程.
建立控制系統微分方程的主要步驟有:
(1)明確要解決問題的目的和要求,確定系統的輸入變量和輸出變量.
(2)全面深入細致地分析系統的工作原理、系統內部各變量間的關系.在多數情況下,所研究的系統比較復雜,涉及到的因素很多,不可能把所有復雜的因素都考慮到.因此,必須抓住能代表系統運動規律的主要特征,舍去一些次要因素,對問題進行適當的簡化,必要時還必須進行一些合理的假設.
(3)如果把整個控制系統作為一個整體，組成控制系統的各元器件及裝置則可以成為子系統。從輸入端開始，依照各子系統所遵循的物理定律或其他規律，寫出子系統的數學表達式.
(4)消去中間變量，最后得到描述輸入變量與輸出變量關系的微分方程式。
(5)寫出微分方程的規范形式，即所有與輸出變量有關的項應在方程左邊，所有與輸入變量有關的項應在方程右邊，所有變量均按降階排列。
系統微分方程的一般形式是

和控制元件網"/>的方程。很顯然，這個系統的輸入變量為。為了使問題簡化，我們忽略質量塊重力的影響。
作用于質量塊的合力P

消去中間變量P,寫成規范形式

圖１　機械運動系統

例2  直流電動機的數學模型。直流電動機可以在較寬的速度范圍和負載范圍內得到連續和準確地控制，因此在控制工程中應用非常廣泛。直流電動機產生的力矩與磁通和電樞電流成正比，通過改變電樞電流或改變激磁電流都可以對電流電機的力矩和轉速進行控制。圖2是一個電樞控制式直流電動機的原理圖。在這種控制方式中，激磁電流恒定，控制電壓加在電樞上，這是一種普遍采用的控制方式。
設
   

  
  
  
  

  
  
根據電路的克希霍夫定理

其中

式中

消去中間變量,

整理后

稱為直流電動機的電氣時間常數；     ,                       (5)

.在穩定狀態下，流入液箱的水和流出液箱的水流量相同，均為.當流入液箱的流入量有一增量的微分方程。

液箱水位的變化為

與出口閥的阻力和液箱水位有關。一般情況下， 是非線性關系。假設  和        

式中 ，是常量。
消去中間變量             (6)

若要研究流入量  的影響，描述二者關系的微分方程為

圖3 液位系統

例4  熱力系統的數學模型。圖4是一個電加熱熱水器的示意圖。我們現在來建立熱水器出口水溫受加熱器加熱量影響的微分方程，為了使問題簡化，假設沒有熱量向周圍環境散失，加熱器容器中的溫度是均勻的，都具有和出口溫度相同的溫度。設加熱器出口水溫相對于穩定狀態下的增量為 為熱水器中水的質量 為水的比熱容 為電加熱器傳輸給水的熱流量的增量 為水的流量

整理后為

 ，則有

圖４　電熱水器

由此可以看出合理假設和簡化在建立系統的數學模型中是很重要的。不同的簡化和假設會得到不同的模型。假設的條件太多，過分簡化，雖然數學模型簡單，數學處理容易，但可能無法反映出事物的主要特征或達不到應有的準確性。若考慮的因素太多，數學模型將變得很復雜，數學處理困難，增加了解決問題的難度，有時甚至會出現次要因素掩蓋了事物主要特征的現象，得不出正確的結果。假設、簡化到什么程度，并無統一的規定，主要根據具體問題和實際經驗來決定。
系統的微分方程建立以后，還必須對其進行驗證。要把根據數學模型進行理論分析的結果和實際結果或實驗結果相比較，證明數學模型的合理性。若不符合要求，則必須進行修改。一個成熟的數學模型往往要經過多次修改和驗證才能確定下來。
建立數學模型是一個培養綜合應用各種知識，不斷創造新的過程。建立數學模型需要有綜合分析和抓住問題本質的能力，需要有較高的抽象概括能力和較高的數學素養，也需要有科學的思維方法。數學模型不僅僅用來解釋已發生的現象，更重要的是要預測事物的發展，為未來的決策提供指南。因此，建立數學模型的過程也是新觀點、新方法產生的過程，是一種不斷創新的過程。培養創新的意識、創新的能力，和掌握科學知識是同等重要的。

(3)、脈沖函數
    脈沖函數定義為：
       
    強度為A的脈沖函數可表示為:
      
    在t0時刻出現的單位脈沖函數為
      
    注意：脈沖函數僅用于分析研究，現實中并不存在。
              
(4)、正弦函數
    正弦函數的數學表達式為：
      
    正弦函數是控制系統中常用的一種典型外作用，很多實際 的隨動系統就是常工作在此外作用下。更為重要的是系統在正弦函數作用下的響應，即頻率 響應是自動控制理論中研究系統性能的重要依據。                     

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